Problema:
Un tanque tiene forma de cono circular invertido con altura de 10 m y radio de base de 4 m. Está lleno de agua hasta 8 m de altura, contados desde la punta. Se desea bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque, es decir, hasta el borde situado a 10 m. Calcular el trabajo necesario para vaciarlo por completo.
Solución
Datos y consideraciones:
Altura total del cono: $H = 10$ m. Radio de la base: $R = 4$ m. La densidad del agua es $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ y la gravedad $g = 9.8 \text{ m/s}^2$. El agua ocupa $0 \leq y \leq 8$, desde la punta, $y=0$, hasta 8 m de altura. Se bombea hasta $y=10$.
1. Radio a altura $y$
Dado que el cono va de radio 0 en $y=0$ hasta radio $R=4$ en $y=10$, la relación lineal es:
$$ \frac{r(y)}{y} = \frac{4}{10} \implies r(y) = 0.4\, y. $$2. Área de sección y volumen de una rebanada
Un corte horizontal a altura $y$ tiene radio $r(y)=0.4y$. El área de esa sección circular es:
$$ A(y) = \pi [r(y)]^2 = \pi (0.4y)^2 = 0.16\pi y^2. $$El volumen de una rebanada horizontal de espesor $\mathrm{d}y$ es:
$$ \mathrm{d}V = A(y)\,\mathrm{d}y = 0.16\pi y^2\,\mathrm{d}y. $$3. Masa y peso de la rebanada
La masa de esa rebanada es:
$$ \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = 1000 \cdot 0.16\pi y^2\,\mathrm{d}y = 160\pi y^2\,\mathrm{d}y. $$El peso, es decir, la fuerza gravitatoria sobre esa rebanada, es:
$$ \mathrm{d}F = g\,\mathrm{d}m = 9.8 \cdot 160\pi y^2\,\mathrm{d}y = 1568\pi y^2\,\mathrm{d}y. $$4. Distancia a bombear
Para subir el agua hasta $y=10$, cada capa situada a altura $y$ debe elevarse una distancia:
$$ 10-y. $$5. Trabajo diferencial
El trabajo necesario para elevar esa pequeña rebanada de agua es:
$$ \mathrm{d}W = \mathrm{d}F \cdot (10-y). $$Sustituyendo:
$$ \mathrm{d}W = 1568\pi y^2(10-y)\,\mathrm{d}y. $$6. Integral del trabajo total
Como el agua ocupa desde $y=0$ hasta $y=8$, integramos en ese intervalo:
$$ W = \int_{0}^{8} 1568\pi y^2(10-y)\,\mathrm{d}y. $$Sacamos la constante fuera:
$$ W = 1568\pi \int_{0}^{8} (10y^2-y^3)\,\mathrm{d}y. $$Calculamos la integral:
$$ \int_{0}^{8} (10y^2-y^3)\,\mathrm{d}y = \left[ \frac{10y^3}{3} - \frac{y^4}{4} \right]_0^8. $$En $y=8$:
$$ \frac{10\cdot 8^3}{3} = \frac{10\cdot 512}{3} = \frac{5120}{3}, $$ $$ \frac{8^4}{4} = \frac{4096}{4} = 1024. $$Entonces:
$$ \frac{5120}{3} - 1024 = \frac{5120}{3} - \frac{3072}{3} = \frac{2048}{3}. $$Por tanto:
$$ \int_{0}^{8} (10y^2-y^3)\,\mathrm{d}y = \frac{2048}{3}. $$Así:
$$ W = 1568\pi \cdot \frac{2048}{3}. $$7. Aproximación numérica
Calculamos:
$$ 1568 \cdot 2048 = 3211264. $$Por tanto:
$$ W = \frac{3211264}{3}\pi. $$Como:
$$ \frac{3211264}{3} \approx 1070421.33, $$tenemos:
$$ W \approx 1070421.33 \cdot \pi. $$Usando $\pi \approx 3.14159$:
$$ W \approx 3364265 \text{ J}. $$Es decir:
$$ \boxed{W \approx 3.36 \times 10^6 \text{ J}} $$o, equivalentemente:
$$ \boxed{W \approx 3.36 \text{ MJ}}. $$En conclusión, el trabajo requerido para bombear todo el agua, hasta los 8 m de llenado, hasta la parte superior del tanque, situada a 10 m, es aproximadamente $3.36 \times 10^6$ joules.
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